Title: M1 / 03. Derivace funkce

Q: definice: (jednostranná) derivace
A: Nechť \(f\) je reálná funkce a \(a \in \R.\) Pak
derivace funkce \(f\) v bodě \(a\) je \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}.\)
derivace funkce \(f\) v bodě \(a\) zleva je \(f'_-(a) = \lim_{h \to 0-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x \to a-} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}.\)
derivace funkce \(f\) v bodě \(a\) zprava je \(f'_+(a) = \lim_{h \to 0+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x \to a+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}.\)

Q: derivace konstanty je
A: \(0\)

Q: Nechť \(f(x) = x^n\) pro. Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (x^n)' = n x^{n-1}\)

Q: Nechť \(f(x) = e^x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (e^x)' = e^x\)

Q: Nechť \(f(x) = a^x, a>0\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (a^x)' = a^x \cdot \ln a\)

Q: Nechť \(f(x) = \log x\). Určete \(f'(x).\) poznámka: máme na mysli přirozený logaritmus
A: \(f'(x) = (\log x)' = \frac{1}{x}\)

Q: Nechť \(f(x) = \log_a x, a>0, a \neq 1\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}\)

Q: Nechť \(f(x) = \sin x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\sin x)' = \cos x\)

Q: Nechť \(f(x) = \cos x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\cos x)' = - \sin x\)

Q: Nechť \(f(x) = \tan x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2x} \)

Q: Nechť \(f(x) = \text{cotan }x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\text{cotan } x)' = -\frac{1}{\sin^2x}\)

Q: Nechť \(f(x) = \arcsin x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Q: Nechť \(f(x) = \arccos x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

Q: Nechť \(f(x) = \arctan x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}\)

Q: Nechť \(f(x) = \text{arccotan }x\). Určete \(f'(x).\)
A: \(f'(x) = (\text{arccotan }x)' = -\frac{1}{1+x^2}\)

Q: věta: aritmetika derivací
A: Nechť \(a \in \R\) a funkce \(f\) a \(g\) jsou definované na nějakém okolí bodu \(a.\) Nechť existují \(f'(a), g'(a) \in \R^*.\) Pak
\((a) \ (f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)\)
\((b) \ \text{Je-li alespoň jedna z funkcí } f, g \text{ spojitá v } a, \text{ pak} (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a) g'(a)\)
\((c) \ \text{Je-li funkce } g \text{ spojitá v bodě } a \text{ a navíc } g(a) \neq 0, \text{ pak } \zavorka{\frac{f}{g}}'(a) = \frac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{g^2(a)}\)
vždy, pokud je výraz na pravé straně definován.

Q: věta: o derivaci složené funkce
A: Nechť \(f\) má derivaci v bodě \(y_0 \in \R, g\) má derivaci v bodě \(x_0 \in \R, y_0 = g(x_0)\) a \(g\) je v bodě \(x_0\) spojitá.
Potom \((f \circ g)'(x_0) = f'(y_0)g'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0),\) je-li výraz na pravé straně definován.

Q: věta: výpočet jednostranné derivace
A: Nechť reálná funkce \(f\) je spojitá zprava v bodě \(a \in \R\) a existuje \(\lim_{x \to a+} f'(x).\)
Pak existuje \(f'_+(a)\) a platí \(f'_+(a) = \lim_{x \to a+}f'(x).\)
Analogicky pro derivaci zleva.

Q: věta: nutná podmínka lokálního extrému
A: Nechť funkce \(f\) má v bodě \(x_0 \in \R\) lokální extrém.
Jestliže existuje \(f'(x_0),\) pak \(f'(x_0) = 0\)
Poznámka: body podezřelé z extrému jsou proto ty, ve kterých \(f\) nemá derivaci, nebo ji tam má nulovou.

Q: věta: znaménka derivace a monotonie
A: Nechť \(J \sub \R\) je nedegenerovaný interval, \(f\) je spojitá funkce na \(J\) a v každém vnitřním bodu \(J\) má \(f\) derivaci. Označme množinu všech vnitřních bodů \(J\) jako \(\Int J.\) Pak platí:
- Je-li \(f'(x)>0 \ \forall x \in \Int J,\) pak \(f\) je rostoucí na \(J.\)
- Je-li \(f'(x)<0 \ \forall x \in \Int J,\) pak \(f\) je klesající na \(J.\)
- Je-li \(f'(x) \geq 0 \ \forall x \in \Int J,\) pak \(f\) je neklesající na \(J.\)
- Je-li \(f'(x) \leq 0 \ \forall x \in \Int J,\) pak \(f\) je nerostoucí na \(J.\)

Q: definice: konvexní funkce
A: Funkce \(f\) je konvexní, pokud má v každém bodě tečnu pod grafem
například funkce \(y = x^2\) je konvexní

Q: definice: konkávní funkce
A: Funkce \(f\) je konkávní, pokud má v každém bodě tečnu nad grafem.
např. funkce \(y = -x^2\) je konkávní

Q: věta: druhá derivace a konvexita
A: Nechť \(a, b \in \R^*, a<b\) a \(f\) má na intervalu \((a,b)\) vlastní druhou derivaci.
- Jestliže \(f''(x)>0 \ \forall x \in (a,b),\) pak \(f\) je ryze konvexní na \((a, b)\)
- Jestliže \(f''(x)<0 \ \forall x \in (a,b),\) pak \(f\) je ryze konkávní na \((a, b)\)
- Jestliže \(f''(x) \geq 0 \ \forall x \in (a,b),\) pak \(f\) je konvexní na \((a, b)\)
- Jestliže \(f''(x) \leq 0 \ \forall x \in (a,b),\) pak \(f\) je  konkávní na \((a, b)\)

Q: definice: inflexní bod
A: Bod \(x\) je inflexní, pokud se v něm mění konvexita v konkávnost či naopak.

Q: Věta: nutná podmínka pro inflexi
A: Nechť \(a \in \R\) je inflexním bodem funkce \(f.\)
Pak \(f''(a)\) neexistuje, nebo je rovna nule.
Poznámka: dává návod na nalezení inflexních bodů.

Q: definice: asymptota v nekonečnu
A: Nechť \(f\) je reálná funkce definovaná na nějakém okolí bodu \(\infty.\) Nechť \(a, b \in \R.\) Řekneme, že \(f\) má v bodě \(\infty\) asymptotu \(ax+b,\) jestliže
\(\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax-b) = 0.\)
Analogicky asymptota v \(-\infty.\)

Q: věta: tvar asymptoty
A: Funkce \(f\) má v bodě \(\infty\) asymptotu \(ax+b\) právě tehdy, když platí následující dvě podmínky
- \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \in \R\)
- \(\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b \in \R.\)
Analogické tvrzení platí pro asymptotu v bodě \(-\infty.\)
Poznámka: dává návod, jak spočítat asymptoty.

Q: Nechť \(f(x) = x\). Určete \(f'(x)\).
A: \(f'(x) = x' = 1\)