Title: M1 / 02. Limita funkce

Q: definice: spojitá funkce
A: Funkce \(f\) je spojitá v bodě \(c \in \R\), pokud \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c).\)

Q: definice: limita funkce
A: Řekneme, že \(A \in \R\) je limitou funkce \(f\) v bodě \(c \in \R,\) pokud
\(\forall \eps \in \R, \eps> 0 \ \ex \delta \in \R, \delta > 0 \ \forall x \in P(c, \delta) \colon f(x) \in B(A, \eps).\)

Q: Věta: jednoznačnost limity funkce
A: Funkce \(f\) má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.

Q: Věta: limita složené funkce - tzv. VoLSF
A: Buď \(c, D, A \in \R^*\) a \(f, g\) reálné funkce. Nechť platí, že \(\lim_{x \to c} g(x) = D\) a \(\lim_{x \to D} f(x) = A\). Nechť platí alespoň jedno z následujícího:
\((P) \ \ex \eta > 0 \ \forall x \in P(c, \eta) \colon g(x) \neq D\)
\((S) f\) je spojitá v bodě \(D\).
Pak platí \(\lim_{x \to c} f(g(x)) = A\)

Q: známá limita se sinem
A: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

Q: známá limita s \(e^x\)
A: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\)

Q: známé limity s logaritmem
A: \(\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1} = 1\)
\( \log \) je zde přirozený

Q: známá limita s tangens
A: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\)

Q: známá limita s arkussinem
A: \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\)

Q: známá limita s arctangens
A: \(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1\)

Q: známá limita s kosinem a polovinou
A: \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)