Title: M1 / 01. Limita posloupnosti

Q: definice: limita posloupnosti
A: Nechť \(\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}\) je posloupnost reálných čísel a \(L \in \R\).
\(L\) je vlastní limita posloupnosti, pokud
\(\forall \eps >0 \ \ex n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n \geq n_0 \colon |a_n-L| < \eps.\)
Posloupnost \(\{a_n \}_{n=1}^{\infty}\) má limitu \(\infty\) (resp. \(- \infty\)), pokud
\(\forall K \in \R \ \ex n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n\geq n_0 \colon a_n > K\) (resp. \(< K\)).

Q: Věta: jednoznačnost limity
A: Nechť \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) je posloupnost reálných čísel s limitou \(A\in \R.\) Buď posloupnost \(\{b_k\}_{k=1}^{\infty}\) vybraná z posloupnosti \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}.\)
Pak \(A\) je limitou této vybrané posloupnosti.

Q: definice: vybraná posloupnost
A: Mějme \(\posla\) posloupnost reálných čísel a \(\{n_k\}_{k=1}^{\infty}\) rostoucí posloupnost přirozench čísel (tj. \(n_k < n_{k+1}, k \in \N\)).
Pak posloupnost \(\{b_{k}\}_{k=1}^{\infty}\), kde \(b_k = a_{n_k}\), je posloupnost vybraná z posloupnosti \(\posla\).

Q: Věta: aritmetika limit - tzv. VoAL
A: Mějme posloupnosti reálných čísel \(\posla, \poslb\) a nechť \(\lim_{n\to \infty} a_n = A \in \R^*, \lim_{n \to \infty} b_n = B \in \R^*.\) Potom platí:
- \(\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A+B\), má-li pravá strana smysl.
- \(\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B\), má-li pravá strana smysl.
- \(\lim_{n \to \infty} (\frac{a_n}{b_n}) = \frac{A}{B}\), má-li pravá strana smysl a \(b_n \neq 0\).

Q: Věta: omezená\(\cdot 0\)
A: Nechť \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\) a posloupnost \(\poslb\) je omezená.
Potom \(\limn (a_n \cdot b_n) = 0.\)

Q: Věta: limita a uspořádání
A: Nechť \(\limn a_n = A \in \R, \lim b_n = B \in \R\).
(i) Nechť \(\ex n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n \geq n_0 \colon a_n \geq b_n\). Pak \(A \geq B.\)
(ii) Nechť \(A < B\). Pak \(\ex n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n \geq n_0 \colon a_n < b_n.\)

Q: Věta o dvou policajtech
A: Nechť \(\posla, \poslb, \{c_n \}_{n=1}^{\infty}\) jsou posloupnosti reálných čísel a
- \(\ex n_0 \ \forall n \in \N, n \geq n_0 \colon a_n \leq c_n \leq b_n,\)
- \(\limn a_n = \limn b_n = A \in \R^*.\)
Pak \(\limn c_n = A.\)

Q: Věta: limita \(\frac{+}{0}\)
A: Nechť \(\limn a_n = A \in \R, A > 0, \limn b_n = 0\) a \(\ex n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n \geq n_0 \colon b_n > 0\).
Pak \(\limn \frac{a_n}{b_n} = \infty.\)

Q: Věta o jednom policajtovi
A: Nechť \(\posla, \poslb\) jsou dvě posloupnosti. Pak
(i) Pokud \(\limn a_n = \infty\) a \(\ex n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n \geq n_0 \colon b_n \geq a_n \), pak \(\limn b_n = \infty.\)
(ii) Pokud \(\limn a_n = - \infty\) a \(\ex n_0 \in \N \ \forall n \in \N, n \geq n_0 \colon b_n \leq a_n\), pak \(\limn b_n = - \infty.\)

Q: Věta: o posloupnosti s kladnými členy
A: Nechť \(\posla\) je posloupnost kladných reálných čísel. Pak:
- \(\limn \frac{a_{n+1}}{a_n} = A \impl \limn \sqrt[n]{a_n} = A,\)
- \(\limn \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \impl \limn a_n = 0,\)
- \(\limn a_n = A \iff \limn a_n^m = A^m \iff \limn \sqrt[m]{a_n} = \sqrt[m]{A}\)
pro \(m \neq 0.\)

Q: Heine
A: Nechť \(c, A \in \R^*\) a funkce \(f\) je definována alespoň na prstencovém na okolí bodu \(c\). Pak následující dvě podmínky jsou ekvivalentní.
\((i) \ \ \lim_{x \to c}f(x) = A\)
\((ii) \ \ \text{Buď } \{ x_n\}_{n=1}^{\infty} \text{ posloupnost z definičního oboru funkce }f \text{ taková, že } \limn x_n = c; \ \forall n \in \N \colon x_n \neq c. \text{Potom platí: } \limn f(x_n) = A.\)
Poznámka: v příkladech využíváme nejčastěji, že \((i) \impl (ii)\).

Q: l´Hospitalovo pravidlo
A: Nechť funkce \(f, g\) mají na prstencovém okolí bodu \(a \in \R^*\) vlastní derivace a existuje \(\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.\)
Nechť platí alespoň jedna z následujících podmínek:
\((i) \ \ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0,\)
\((ii) \ \ \lim_{x \to a} |g(x)| = \infty.\)
Potom existuje i \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) a je rovna \(\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.\)

Růstová škála

Q: rozklad \(a^n - b^n\)
A: \(a^n-b^n = (a-b)\zavorka{a^{n-1}+a^{n-2}b + a^{n-2}b^2 + \dots + a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}} \)

Q: \(\limn a^n = \ldots\)
A: \(\limn a^n = \begin{cases}\infty, & a >1, \\ 0, & a \in (0,1) \end{cases}.\)

Q: \(\limn \sqrt[n]{a} = \ldots\)
A: \(\limn \sqrt[n]{a} = 1\) pro \(a >0\)

Q: \(\limn \zavorka{1+\frac{1}{n}}^n = \ldots\)
A: \(\limn \zavorka{1+\frac{1}{n}}^n = e\)